วิชาคณิตศาสตร์

ลำดับเรขาคณิต

ลำดับเรขาคณิตคือ ลำดับที่ $\frac{พจน์ขวา (a_{n + 1})}{พจน์ซ้าย (a_{n})} = r$ เป็นค่าคงตัวที่เท่ากันทุกคู่

นั่นคือ $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = r$ เสมอ

ถ้ากำหนดให้ $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}, a_{n + 1}, \dots$ เป็นลำดับเรขาคณิตแล้ว

\frac{a_{2}}{a_{1}} = \frac{a_{3}}{a_{2}} = \dots = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = r

ดังนั้นลำดับเรขาคณิต $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}, a_{n + 1}, \dots$ จะเขียนได้อีกแบบเป็น

a_{1}, a_{1} r, a_{1} r^{2}, \dots, a_{1} r^{n - 1}, a_{1} r^{n}, \dots

สูตรหาพจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิต คือ

a_{n} = a_{1} r^{n - 1}

ตัวอย่างโจทย์ลำดับเรขาคณิต

หาสี่พจน์แรกของลําดับเรขาคณิตที่มีอัตราส่วนร่วมเป็นบวก และ $a_{1} + a_{2} = 8, a_{3} + a_{4} = 72$

จากสูตร $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ เราทราบค่า $a_{2} = a_{1} r, a_{3} = a_{1} r^{2}$ และ $a_{4} = a_{1} r^{3}$

ดังนั้น

a_{1} + a_{2} = a_{1} + a_{1} r = 8 \dots (1)

a_{3} + a_{4} = a_{1} r^{2} + a_{1} r^{3} = 72 \dots (2)

จาก (1) จะได้

a_{1} (1 + r) = 8 \dots (3)

และจาก (2) จะได้

a_{1} r^{2} (1 + r) = 72 \dots (4)

เมื่อเรานำ (4) หารด้วย (3) จะได้

\frac{a_{1} r^{2} (1 + r)}{a_{1} (1 + r)} = r^{2} = 9

ดังนั้น $r = 3, - 3$ แต่โจทย์บอกว่า $r$ เป็นบวก เราจึงได้ว่า $r = 3$

นำค่า $r = 3$ ไปแทนกลับในสมการ (3) เพื่อหาค่า $a_{1}$ จะได้

a_{1} = \frac{8}{4} = 2

เมื่อเรารู้ค่า $a_{1} = 2$ และ $r = 3$ เราจึงสามารถหาค่าของ

a_{1} = 2, a_{2} = 2 \times 3 = 6, a_{3} = 2 \times 3^{2} = 18, a_{4} = 2 \times 3^{3} = 54

อนุกรมเรขาคณิต

อนุกรมเรขาคณิตคือ อนุกรมที่เกิดจากการนำลำดับเรขาคณิตมาบวกกัน

ให้ $a_{1}, a_{1} r, a_{1} r^{2}, \dots, a_{1} r^{n - 1}, \dots$ เป็นลำดับเรขาคณิต

จะได้อนุกรมเรขาคณิตดังนี้

\begin{array}{rcl} S_{1} & = & a_{1} \\ S_{2} & = & a_{1} + a_{1} r = a_{1} (1 + r) \\ S_{3} & = & a_{1} + a_{1} r + a_{1} r^{2} = a_{1} (1 + r + r^{2}) \\ ⋮ \\ S_{n} & = & a_{1} + a_{1} r + a_{1} r^{2} + \dots + a_{1} r^{n - 1} = \frac{a_{1} (1 - r^{n})}{1 - r} \end{array}

สูตรการหาผลรวม $n$ พจน์ของอนุกรมเรขาคณิต คือ

S_{n} = \frac{a_{1} (1 - r^{n})}{1 - r} เมื่อ r \neq 1

ตัวอย่างโจทย์อนุกรมเรขาคณิต

อนุกรมเรขาคณิตมีค่า $a_{3} = 80$ และ $S_{3} = 65$ จงหาพจน์แรก และอัตราส่วนร่วม

จากสูตรของลำดับเรขาคณิต $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ และ สูตรของอนุกรมเรขาคณิต $S_{n} = \frac{a_{1} (1 - r^{3})}{1 - r}$
ดังนั้นเราจะได้

80 = a_{3} = a_{1} r^{2} \dots (5)

65 = s_{3} = \frac{a_{1} (1 - r^{3})}{1 - r} = a_{1} (1 + r + r^{2}) \dots (6)

นำ (6) หารด้วย (5) จะได้

\frac{(1 + r + r^{2})}{r^{2}} = \frac{a_{1} (1 + r + r^{2})}{a_{1} r^{2}} = \frac{65}{80} = \frac{13}{16}

นั่นคือเราจะได้สมการ

3 r^{2} + 16 r + 16 = (3 r + 4) (r + 4) = 0

ดังนั้น $r = - 4$ หรือ $\frac{- 4}{3}$

เมื่อนำค่า $r$ ไปแทนค่าใน (5)

เมื่อ $r = - 4$ จะได้ $a_{1} = 5$

เมื่อ $r = \frac{- 4}{3}$ จะได้ $a_{1} = 45$

อนุกรมอนันต์ในลักษณะของเรขาคณิต

ถ้าเราต้องการหาค่า $S_{\infty} = lim_{n \to \infty} S_{n} = a_{1} + a_{1} r + a_{1} r^{2} + \dots + a_{1} r^{n} + \dots$ เมื่อ $| r | < 1$ เราสามารถใช้สูตร

S_{\infty} = lim_{n \to \infty} S_{n} = \frac{a_{1}}{1 - r}

ดังนั้น $S_{\infty} = \frac{a_{1}}{1 - r}$

ขอย้ำว่า $S_{\infty} = \frac{a_{1}}{1 - r}$ เมื่อ $| r | < 1$ เท่านั้นนะ

ตัวอย่างโจทย์อนุกรมเรขาคณิตอนันต์

จงหาค่าของอนุกรมเรขาคณิตต่อไปนี้ $\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{18} + \dots + \frac{3}{2 \times 3^{n}} + \dots$

จากโจทย์เราได้ $a_{1} = \frac{1}{2}$ และจะได้ค่าของ $r = \frac{1}{6} \div \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$
นั่นคือ $| r | = \frac{1}{3} < 1$ เราจึงใช้สูตร $S_{\infty} = \frac{a_{1}}{1 - r}$ ได้นะครับ